Esferificación de poliedros:
Una cosa es saber el porcentaje de volumen de una esfera que ocupa un poliedro, tanto si la esfera es circunscrita como si la esfera es inscrita y otro caso es coger un poliedro, hacer que sus vértices pasen por una esfera y proyectar desde el centro de la esfera sobre la misma sus aristas, de esta manera obtenemos un poliedro que tiene aristas curvas que son en realidad geodésicas o circunferencias mayores de la esfera que pasan necesariamente por los vértices del poliedro y esto es lo que se llama esferificar un poliedro, muy usual para crear armazones de balones o estructuras geodésicas de objetos industriales.
En los siguientes dibujos tenemos la esferificación de un dodecaedro en la primera imagen y de un icosaedro en la segunda imagen, como podemos observar los vértices de ambos poliedros pertenecen a una esfera y se han proyectado sus aristas sobre la misma, haciendo que tengan respectivamente pentágonos de lados curvos y superficies esféricas o bien triángulos esféricos de lados curvos y superficies esféricas.
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En el primer caso tenemos la sección meridiana del cubo y de las tres esferas, la verde correspondiente al número 2 que es la circunscrita cuyos vértices del cubo pasan por la superficie esférica.
En la número 3 tenemos una esfera azul cuyas aristas del cubo son tangentes a la superficie y por tanto deja ver casquetes esféricos tangentes a los cuatro lados de cada cara del cubo.
En el caso número 4 la esfera amarilla es inscrita en el cubo y es tangente a las seis caras en sus puntos centrales.
En la parte inferior podemos ver los radios correspondientes a cada una de las esferas, la circunscrita, la tangente a las aristas del cubo y la inscrita; como podemos observar respectivamente en el primer caso es la semidiagonal mayor del cubo, en el segundo caso es la línea que va desde el centro del cubo hasta un vértice y la tercera es la que va desde el centro del cubo hasta el punto medio del lado del cuadrado. La relación entre el volumen que queda entre el cubo y la esfera es el porcentaje de esfericidad que se tiene en los distintos casos.
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El caso de los arquimedianos
El rombicubotaedro es el poliedro arquimediano que aparece en el dibujo y está formado por caras cuadradas y triangulares. Como podemos observar tiene 8 caras cuadradas laterales y luego 5 por encima y otras 5 por debajo con lo cual tiene 18 caras cuadradas, mientras que los triángulos contiene 4 por la parte superior en el casquete superior y otros 4 por debajo teniendo 8 en total.
En el dibujo tenemos el tipo de relación que existe entre una esfera y un poliedro.
Aunque se pueden encontrar más casos, esencialmente tenemos tres tipos cuando la esfera es tangente a las aristas del poliedro y por tanto toca en los puntos medios de cada arista, aunque esto no siempre es posible.
En el dibujo es el caso 1 donde la esfera es tangente a las aristas y efectivamente lo es a todas las aristas del poliedro. En el número 1 observamos como una vez que hicimos ese cálculo hacemos la diferencia del poliedro menos la esfera provocando el poliedro con sus caras huecas de circunferencias centradas.
En el número 2 volvemos a coger la esfera tangente a las aristas en los puntos medios pero unimos los dos objetos de manera que el poliedro contiene sobre sus caras casquetes esféricos que exceden al mismo y en el 3º caso tenemos el opuesto al primero donde a la esfera le restamos el poliedro quedando internamente el hueco poliédrico y dejando en el espacio flotando los casquetes esféricos, todos tangentes con sus adyacentes.
En estos tres primeros casos tenemos el mismo caso de la esfera tangente en los puntos medios de las aristas pero con la diferencia del poliedro menos la esfera en el primer caso, la unión de ambos en el 2 y con la diferencia de la esfera menos el poliedro en el tercer caso.
Por otro lado tenemos el caso número 4 donde la esfera pasa por los vértices del poliedro y por tanto cortamos la esfera para ver el interior con sus caras internas y observamos que efectivamente pasa por los vértices del poliedro tanto si son caras triangulares como cuadradas.
En el caso número 5 tenemos el caso inverso donde cogemos el poliedro y hacemos una esfera tangente a las caras cuadradas en el punto medio y observamos que la esfera no es tangente en los puntos medios a las caras triangulares por lo que esto abre la posibilidad de hacer otro nuevo caso donde hagamos una esfera tangente en los puntos centrales de las caras triangulares y por tanto excederá a la superficie poliédrica en las caras cuadradas provocando en estas casquetes esféricos de menor tamaño que en el caso número dos y solo en las caras cuadradas.
Podemos extrapolar esta propiedad a los poliedros arquimeanos observando que siempre podremos construir al menos tres tipos de esferas, además en el caso 5 observamos que se abre la posibilidad a un nuevo caso donde la esfera es tangente a las caras en el punto medio pero haciéndolo solo a los cuadrados teníamos la posibilidad de poder hacerlo también sobre los triángulos, teniendo un nuevo caso y de esta manera no es como en los poliedros regulares donde solo hay la posibilidad de las tres esferas notables ya que aquí tenemos a veces más casos según las caras. En el caso de los poliedros regulares teníamos que podía haber tres tipos de esferas con una posición relativa respecto al poliedro de manera que pasaran por los vértices o bien por los puntos medios de cada arista o bien por los puntos centrales de cada cara concluyendo todas las posibilidades relativas más importantes entre la esfera y el poliedro regular.
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