Esferificación de poliedros:
Una cosa es saber el porcentaje de volumen de una esfera que ocupa un poliedro, tanto si la esfera es circunscrita como si la esfera es inscrita y otro caso es coger un poliedro, hacer que sus vértices pasen por una esfera y proyectar desde el centro de la esfera sobre la misma sus aristas, de esta manera obtenemos un poliedro que tiene aristas curvas que son en realidad geodésicas o circunferencias mayores de la esfera que pasan necesariamente por los vértices del poliedro y esto es lo que se llama esferificar un poliedro, muy usual para crear armazones de balones o estructuras geodésicas de objetos industriales.
En los siguientes dibujos tenemos la esferificación de un dodecaedro en la primera imagen y de un icosaedro en la segunda imagen, como podemos observar los vértices de ambos poliedros pertenecen a una esfera y se han proyectado sus aristas sobre la misma, haciendo que tengan respectivamente pentágonos de lados curvos y superficies esféricas o bien triángulos esféricos de lados curvos y superficies esféricas.
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En el primer caso tenemos la sección meridiana del cubo y de las tres esferas, la verde correspondiente al número 2 que es la circunscrita cuyos vértices del cubo pasan por la superficie esférica.
En la número 3 tenemos una esfera azul cuyas aristas del cubo son tangentes a la superficie y por tanto deja ver casquetes esféricos tangentes a los cuatro lados de cada cara del cubo.
En el caso número 4 la esfera amarilla es inscrita en el cubo y es tangente a las seis caras en sus puntos centrales.
En la parte inferior podemos ver los radios correspondientes a cada una de las esferas, la circunscrita, la tangente a las aristas del cubo y la inscrita; como podemos observar respectivamente en el primer caso es la semidiagonal mayor del cubo, en el segundo caso es la línea que va desde el centro del cubo hasta un vértice y la tercera es la que va desde el centro del cubo hasta el punto medio del lado del cuadrado. La relación entre el volumen que queda entre el cubo y la esfera es el porcentaje de esfericidad que se tiene en los distintos casos.
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